免责声明

仅可作为期末突击复习使用，以下过程可能存在不严谨不严格的部分，但是本科期末考试一般会给分

拉格朗日插值

基本公式

会给定一系列点 $(x_0,f(x_0)),(x_1,f(x_1)),\dots \dots ,(x_n,f(x_n))$ ，通过下面公式
$$
L_i(x) = \frac{(x-x_0)(x-x1)\cdots(x-x{i-1})(x-x_{i+1})\cdots(x-x_n)}{(x_i-x_0)(x_i-x_1)\cdots(xi-x{i-1})(xi-x{i+1})\cdots(x_i-x_n)}
$$

$$P_n(x)=y_0{L}_0(x)+y_1{L}_1(x)+\cdots +y_n{L}_n(x)$$
$P_n(x)$ 即为所求的拉格朗日多项式

例题

已知 $f(-1)=2,f(1)=1,f(2)=1$，求 $f(x)$ 的 Lagrange 插值多项式。
$$L_0(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{-2\cdot -3}=\frac{1}{6}(x^2-3x+2)$$

$$L_1(x)=\frac{(x+1)(x-2)}{2\cdot -1}=-\frac{1}{2}(x^2-x-2)$$

$$L_2(x)=\frac{(x+1)(x-1)}{3\cdot 1}=\frac{1}{3}(x^2-1)$$

$$P_n(x)=2x\frac{1}{6}(x^2-3x+2)-\frac{1}{2}(x^2-x-2)+\frac{1}{3}(x^2-1)$$

$$=\frac{1}{3}{x}^2-\frac{1}{2}x+\frac{2}{3}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}{x}^2-\frac{1}{6}$$

$$=\frac{1}{8}{x}^2-2x+\frac{4}{3}$$

牛顿插值

基本公式

会给定一系列点$(x_0,f(x_0)),(x_1,f(x_1)),\dots \dots ,(x_n,f(x_n))$，通过下面公式
差商计算公式

$$f[x_i,x_j]=\frac{f(x_i)-f(x_j)}{x_i-x_j}$$

$$
f[x_0,x_1,\ldots,x_j] = \frac{f[x_0, x1, \ldots, x{k-1}] - f[x_0, \ldots, x_k]}{x_0 - x_k}
$$

$$\text{begin{array}{|c|c|c|} hline x\_0 \& f(x\_0) \& \& hline x\_1 \& f(x\_1) \& f[x\_0, x\_1] \& hline x\_2 \& f(x\_2) \& f[x\_1, x\_2] \& f[x\_0, x\_1,x\_2] hline x\_3 \& f(x\_3) \& f[x\_2, x\_3] \& f[x\_1, x\_2,x\_3] \& ldots hline ldots \& ldots \& ldots \& ldots hline end{array}}$$
$$P_n(x)=f(x_0)+(x-x_0)f[x_0,x_1]+(x-x_0)(x-x_1)f[x_0,x_1,x_2]+\dots$$$$+ (x-x_0)(x-x1) \cdots (x-x{n-1})f[x_0, x_1, \ldots, x_n]
$$
$P_n(x)$为所求的插值多项式

例题

已知 $f(-1)=2,f(1)=1,f(2)=1$，求 $f(x)$ 的 Lagrange 插值多项式。
给出差商表

$$\text{begin{array}{|c|c|c|} hline -1 \& 2 hline 1 \& 1 \& -frac{1}{2} hline 2 \& 1 \& 0 \& frac{1}{6} hline end{array}}$$

$$P_n(x)=2+(x+1)(-\frac{1}{2})+(x+1)(x-1)\frac{1}{8}$$

$$=2-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}+(x-1)\frac{1}{8}$$

$$=2-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}-\frac{1}{8}{x}^2-\frac{1}{8}$$

$$=\frac{1}{8}{x}^2-\frac{1}{2}x+\frac{4}{3}$$

Hermite插值

两点三次插值公式

$$H_3(x)=(1-2\frac{x-x_0}{x_0-x_1})(\frac{x-x_1}{x_0-x_1}{)}^2{y}_0+(1-2\frac{x-x_1}{x_1-x_0})(\frac{x-x_0}{x_1-x_0}{)}^2{y}_1+(x-x_0)(\frac{x-x_1}{x_0-x_1}{)}^2{y}_0^{\prime }+(x-x_1)(\frac{x-x_0}{x_1-x_0}{)}^2{y}_1^{\prime }$$

例题

求满足条件 $H(0)=1$, $H^{\prime }(0)=0.5$, $H(1)=2$, $H^{\prime }(1)=2$ 的插值多项式。
解：
直接带入公式

• $x_0=0$, $y_0=1$, $y_0^{\prime }=0.5$
• $x_1=1$, $y_1=2$, $y_1^{\prime }=2$
  将这些值代入 Hermite 插值公式：

$$H_3(x)=(1-2\frac{x-0}{0-1})(\frac{x-1}{0-1}{)}^2(1)+(1-2\frac{x-1}{1-0})(\frac{x-0}{1-0}{)}^2(2)+(x-0)(\frac{x-1}{0-1}{)}^2(0.5)+(x-1)(\frac{x-0}{1-0}{)}^2(2)$$
最终整理得到：

$$H_3(x)=2x^3-3x^2+2x+1$$

三次样条

这个学的不好
挖坑

一次最佳一致逼近多项式

基本方法

由 $f(x)$ 得出 $f^{{}^{\prime }}(x)$ ，
$a,b$ 为给定区间两端
然后 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=a_1=f^{{}^{\prime }}(x_3)$ ，求解出 $x_3$ 的值，代入
$$a_0=\frac{f(a)+f(x_3)}{2}-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\frac{a+x_3}{2}$$
求解的最佳一致逼近多项式为 $P(x)=a_0+a_{1}x$

例题

求 $f(x)=x^2$ , $x\in [0,1]$ 上的一次最佳一致逼近多项式。
解：
计算 $f^{\prime }(x)$:
$$f^{\prime }(x)=2x$$
在这个例子中，我们取 $a=0$和 $b=1$。
计算 $f(a)$, $f(b)$, 以及 $a_1$:
$$f(0)=0^2=0,f(1)=1^2=1$$
代入公式
$$a_1=f^{{}^{\prime }}(x_3)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{1-0}{1-0}=1$$
解方程 $f^{\prime }(x_3)=1$:
$$2x_3=1⟹x_3=\frac{1}{2}$$
代入公式计算 $a_0$：
$$a_0=\frac{f(a)+f(x_3)}{2}-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot \frac{a+x_3}{2}$$
接下来代入各项：
$$a_0=\frac{f(0)+f\left(\frac{1}{2}\right)}{2}-\frac{f(1)-f(0)}{1-0}\cdot \frac{0+\frac{1}{2}}{2}$$
计算各部分：
$$a_0=\frac{0+\frac{1}{4}}{2}-1\cdot \frac{\frac{1}{2}}{2}$$
$$a_0=\frac{\frac{1}{4}}{2}-\frac{1}{4}$$
$$a_0=\frac{1}{8}-\frac{1}{4}=\frac{1}{8}-\frac{2}{8}=-\frac{1}{8}$$

现在我们得到了$a_0$ 和 $a_1$:
$$a_0=-\frac{1}{8},a_1=1$$

综上所述， $f(x)=x^2$ 在区间$[0,1]$上的一次最佳一致逼近多项式为：
$$P(x)=x-\frac{1}{8}$$

最佳平方逼近

选取 $\phi (x)=1$, ${\varphi }_0(x)=1$, ${\varphi }_1(x)=|x|$ 于 $x\in span1,x$

$$\{\begin{array}{l}({\varphi }_0,{\varphi }_0)c_0+({\varphi }_0,{\varphi }_1)c_1=(f,{\varphi }_0)({\varphi }_1,{\varphi }_0)c_0+({\varphi }_1,{\varphi }_1)c_1=(f,{\varphi }_1)\end{array}$$

从而
$$\Rightarrow \{\begin{array}{l}{c}_0=c_1=\end{array}$$

其中 $({\varphi }_0,{\varphi }_1)={\int }_a^b{\varphi }_0(x){\varphi }_1(x)dx$

$$\phi (x)=c_0+c_{1}x$$