免责声明

仅可作为期末突击复习使用，以下过程可能存在不严谨不严格的部分，但是本科期末考试一般会给分

拉格朗日插值

基本公式

会给定一系列点 $(x_0 ,f(x_0)),(x_1,f(x_1)),……,(x_n,f(x_n))$ ，通过下面公式
$$
L_i(x) = \frac{(x-x_0)(x-x1)\cdots(x-x{i-1})(x-x_{i+1})\cdots(x-x_n)}{(x_i-x_0)(x_i-x_1)\cdots(xi-x{i-1})(xi-x{i+1})\cdots(x_i-x_n)}
$$

$$
P_n(x) = y_0L_0(x) + y_1L_1(x) + \cdots + y_nL_n(x)
$$
$P_n(x)$ 即为所求的拉格朗日多项式

例题

已知 $f(-1) = 2, f(1) = 1, f(2) = 1$，求 $f(x)$ 的 Lagrange 插值多项式。
$$
L_0(x) = \frac{(x-1)(x-2)}{-2 \cdot -3} = \frac{1}{6}(x^2 - 3x + 2)
$$

$$
L_1(x) = \frac{(x+1)(x-2)}{2 \cdot -1} = -\frac{1}{2}(x^2 - x - 2)
$$

$$
L_2(x) = \frac{(x+1)(x-1)}{3 \cdot 1} = \frac{1}{3}(x^2 - 1)
$$

$$
P_n(x) = 2x\frac{1}{6}(x^2 - 3x + 2) - \frac{1}{2}(x^2 - x - 2) + \frac{1}{3}(x^2 - 1)
$$

$$
= \frac{1}{3}x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{2}{3} - \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}x^2 - \frac{1}{6}
$$

$$
= \frac{1}{8}x^2 - 2x + \frac{4}{3}
$$

牛顿插值

基本公式

会给定一系列点$(x_0 ,f(x_0)),(x_1,f(x_1)),……,(x_n,f(x_n))$，通过下面公式
差商计算公式

$$
f[x_i,x_j] = \frac{f(x_i) - f(x_j)}{x_i - x_j}
$$

$$
f[x_0,x_1,\ldots,x_j] = \frac{f[x_0, x1, \ldots, x{k-1}] - f[x_0, \ldots, x_k]}{x_0 - x_k}
$$

$$
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
x_0 & f(x_0) & & \
\hline
x_1 & f(x_1) & f[x_0, x_1] & \
\hline
x_2 & f(x_2) & f[x_1, x_2] & f[x_0, x_1,x_2] \
\hline
x_3 & f(x_3) & f[x_2, x_3] & f[x_1, x_2,x_3] & \ldots \
\hline
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \
\hline
\end{array}
$$
$$
P_n(x) = f(x_0) + (x-x_0)f[x_0, x_1] + (x-x_0)(x-x_1)f[x_0, x_1, x_2] + \ldots $$$$+ (x-x_0)(x-x1) \cdots (x-x{n-1})f[x_0, x_1, \ldots, x_n]
$$
$P_n(x)$为所求的插值多项式

例题

已知 $f(-1) = 2, f(1) = 1, f(2) = 1$，求 $f(x)$ 的 Lagrange 插值多项式。
给出差商表

$$
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
-1 & 2 \
\hline
1 & 1 & -\frac{1}{2} \
\hline
2 & 1 & 0 & \frac{1}{6} \
\hline
\end{array}
$$

$$
P_n(x) = 2 + (x+1)\left(-\frac{1}{2}\right) + (x+1)(x-1)\frac{1}{8}
$$

$$
= 2 - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} + (x-1)\frac{1}{8}
$$

$$
= 2 - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} - \frac{1}{8}x^2 - \frac{1}{8}
$$

$$
= \frac{1}{8}x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{4}{3}
$$

Hermite插值

两点三次插值公式

$$
H_3(x)=(1-2\frac{x-x_0}{x_0-x_1})(\frac{x-x_1}{x_0-x_1})^2y_0+(1-2\frac{x-x_1}{x_1-x_0})(\frac{x-x_0}{x_1-x_0})^2y_1+(x-x_0)(\frac{x-x_1}{x_0-x_1})^2y_0'+(x-x_1)(\frac{x-x_0}{x_1-x_0})^2y_1'
$$

例题

求满足条件 $H(0)=1$, $H'(0)=0.5$, $H(1)=2$, $H'(1)=2$ 的插值多项式。
解：
直接带入公式

• $x_0 = 0$, $y_0 = 1$, $y_0' = 0.5$
• $x_1 = 1$, $y_1 = 2$, $y_1' = 2$
  将这些值代入 Hermite 插值公式：

$$
H_3(x)=(1-2\frac{x-0}{0-1})(\frac{x-1}{0-1})^2(1)+(1-2\frac{x-1}{1-0})(\frac{x-0}{1-0})^2(2)+(x-0)(\frac{x-1}{0-1})^2(0.5)+(x-1)(\frac{x-0}{1-0})^2(2)
$$
最终整理得到：

$$
H_3(x)=2x^3-3x^2+2x+1
$$

三次样条

这个学的不好
挖坑

一次最佳一致逼近多项式

基本方法

由 $f(x)$ 得出 $f^{'}(x)$ ，
$a,b$ 为给定区间两端
然后 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=a_1=f^{'}(x_3)$ ，求解出 $x_3$ 的值，代入
$$
a_0=\frac{f(a)+f(x_3)}{2}-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\frac{a+x_3}{2}
$$
求解的最佳一致逼近多项式为 $P(x)=a_0+a_1x$

例题

求 $f(x)=x^2$ , $x\in[0,1]$ 上的一次最佳一致逼近多项式。
解：
计算 $f'(x)$:
$$
f'(x) = 2x
$$
在这个例子中，我们取 $a = 0 $和 $b = 1$。
计算 $f(a)$, $f(b)$, 以及 $a_1$:
$$
f(0) = 0^2 = 0, \quad f(1) = 1^2 = 1
$$
代入公式
$$
a_1 =f^{'}(x_3)= \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{1 - 0}{1 - 0} = 1
$$
解方程 $f'(x_3) = 1$:
$$
2x_3 = 1 \implies x_3 = \frac{1}{2}
$$
代入公式计算 $a_0$：
$$
a_0 = \frac{f(a) + f(x_3)}{2} - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \cdot \frac{a + x_3}{2}
$$
接下来代入各项：
$$
a_0 = \frac{f(0) + f\left(\frac{1}{2}\right)}{2} - \frac{f(1) - f(0)}{1 - 0} \cdot \frac{0 + \frac{1}{2}}{2}
$$
计算各部分：
$$
a_0 = \frac{0 + \frac{1}{4}}{2} - 1 \cdot \frac{\frac{1}{2}}{2}
$$
$$
a_0 = \frac{\frac{1}{4}}{2} - \frac{1}{4}
$$
$$
a_0 = \frac{1}{8} - \frac{1}{4} = \frac{1}{8} - \frac{2}{8} = -\frac{1}{8}
$$

现在我们得到了$a_0$ 和 $a_1$:
$$
a_0 = -\frac{1}{8}, \quad a_1 = 1
$$

综上所述， $f(x) = x^2$ 在区间$[0, 1]$上的一次最佳一致逼近多项式为：
$$
P(x) = x - \frac{1}{8}
$$

最佳平方逼近

选取 $\varphi(x)=1$, $\phi_0(x)=1$, $\phi_1(x)=|x|$ 于 $x\in span{1,x}$

$$
\begin{cases}
(\phi_0,\phi_0)c_0+(\phi_0,\phi_1)c_1=(f,\phi_0) \
(\phi_1,\phi_0)c_0+(\phi_1,\phi_1)c_1=(f,\phi_1)
\end{cases}
$$

从而
$$
\Rightarrow \begin{cases}
c_0= \
c_1=
\end{cases}
$$

其中 $(\phi_0,\phi_1)=\int_a^b \phi_0(x)\phi_1(x)dx$

$$
\varphi(x)=c_0+c_1x
$$